大燕文学

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第5部分（第4页）

几何图形的性质，并且，我们用它们偏离欧几里得古典法则的程

度来衡量曲率的大小。如果你在一张平坦的纸上画一个三角形，

那么，正如你从初等几何学所得知的那样，这个三角形三个角的

总和等于两个直角。你可以把这张纸弯成圆柱形、圆锥形，或者

甚至弯成更复杂的形状，但是，画在这张纸上那个三角形的三个

角之和，必定永远保持等于两个直角。

这种面的几何性质不随上述形变而改变，因此，从“内在”

曲率的观点看来，形变后所得到的各种面（尽管在一般概念中是

弯曲的），事实上是和平面一样平坦的。

但是，你要是不把一张纸撕破，你就无法把它贴切地贴在球

面上或鞍形面上；不仅如此，如果你想在一个球面上画一个三角

形（即所谓球面三角形），那么，欧几里得几何学那些简单的定

理就不再成立了。事实上，我们可以用北半球上任何两条半截的

子午线（即经线）与两者之间那段赤道所构成的三角形作为例子，

这时，三角形底边的两个角都是直角，而顶角则可以具有任意大

的角度，这三个角之和显然大于两个直角。

同球面的情形相反，在鞍形面上，你会惊讶地发现，三角形

三个角之和永远小于两个直角。

可见，要确定一个面的曲率，必须研究这个面上的几何性质，

而从外面来观察常常会产生错误。仅仅依靠这种观察，你大概会

把圆柱面同环面划为一类，其实，前者是平面，后者却是无法矫

正的曲面。你一旦习惯于曲率的这种新的、严格的数学概念，你

就不难明白，物理学家们在讨论我们所居住的空间到底是不是弯

曲的时候，他们所指的是什么东西了。我们不需要跑到我们所居

住的三维空间的“外面”去“看看”它是否弯曲；而可以留在这

个空间中进行一些实验，去查明欧几里得几何学的普通定律是不

是还能成立。

但是，你们也许会觉得奇怪：为什么我们在一切场合下都应

该指望空间的几何性质与已经成为“常识”的欧几里得几何有所

不同呢？为了表明这种几何性质确实取决于各种物理条件，让我

们设想有一个巨大的圆形舞台，像唱片那样绕着自己的轴匀速地

转动着。再假设有一些小量尺，沿着从圆心到圆周上某一点的半

径，头尾相接地排成一条直线；另一些量尺则沿着圆周排成一个

圆。

在相对于那个安放舞台的房间静止不动的观察者Ａ看来，当

舞台在转动时，那些沿着舞台为圆周摆放的量尺是在其长度方向

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